MHD による一般化 2 級流体の熱伝達、Caputo を使用した放射および指数関数的加熱

Scientific Reports volume 13、記事番号: 5220 (2023) この記事を引用

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本研究の目的は、Caputo-Fabrizio 分数導関数を非定常非圧縮性 2 級流体の熱変換に適用することです。磁気流体力学と放射線の影響が分析されます。熱伝達の支配方程式において非線形輻射熱を考察する。境界では指数関数的な加熱現象が考慮されます。まず、初期条件と境界条件を備えた次元支配方程式が無次元形式に変換されます。運動量方程式とエネルギー方程式からなる無次元分数支配方程式に対してラプラス変換法を用いて正確な解析解を得る。得られた解の特殊なケースが調査され、これらの特殊なケースから文献として出版されたいくつかのよく知られた結果が得られることがわかります。最後に、グラフで説明するために、放射線、プラントル、分数パラメータ、グラスホフ数、磁気流体力学などのさまざまな物理パラメータの影響がグラフでチェックされます。

分数次数の導関数理論は日常生活において非常に重要です。整数順序と同様に、非整数順序の理論も最も古いものです。これは数学の一分野であり、数年前にはこの概念は数学のみに限定されていましたが、現在では分数微積分の原理は流体力学、生物工学、電磁気学、流体力学、金融などのさまざまな分野で頻繁に使用されています。、電気化学、粘弾性、生物学におけるニューロンのモデル、応用数学1。流体力学では、非整数導関数の概念が、ガラス状態のポリマーやガラス転移のような粘弾性プロセスを研究するために使用されてきました2。数年前、分数次微分は、適切な物理概念の一般化を得ることができる効果的なツールであることがわかりました。非整数次数の導関数の定義は他にもたくさんありますが、Caputo 分数導関数と Riemann-Liouvilli 分数導関数は、現実世界のさまざまな現象で使用されます 3、4。このような方法を適用するのが難しいことは誰もが知っています。リーマン・リウヴィリ分数次導関数では定数の導関数が非ゼロであり、また特異カーネルを持っています。これらの問題は Caputo によって取り除かれ、定数の導関数がゼロであるが依然として特異なカーネルを持つという概念が与えられました。これらすべてを経て、Fabrizio と Caputo は、定数が導関数ゼロを持ち、特異カーネルを持たない非整数次導関数のアイデアを提示しました。ラプラス手法により、Caputo-Febrizio 分数導関数は正確な解を見つけるのが簡単です。多くの既存の流体モデルが検討され、分数次数導関数が開発されました。ここでは、Oldroyd-B、Maxwell、グレード 2、Burger および Jeffery 流体モデルなどのいくつかのよく知られた流体モデルが紹介されています。Burger、Maxwell、および Oldroyd モデルはレートタイプのモデルであり、グレード 2 は差動タイプ 5 です。 Tan et al.6 によれば、非整数導関数のモデルを使用して、2 つの平行プレート間のグレード 2 の非ニュートン流体の一般化された非定常流れを調査しました。最近、Friedrich7 は、緩和と遅延の関数を一般化した分数次導関数を使用して通常のマクスウェル流体の流体モデルを検討しました。初期の研究では、Tan ら 8 は、2 つの平行なプレート間の非定常粘弾性流体の流れを伴う非整数マクスウェル流体に関する短いメモを分析しました。一方向の周期的な流体の流れをもつ非整数粘弾性マクスウェル流体モデルは、9 で研究されました。パイプ内の粘弾性の分数マクスウェル流体のモデルは、ying et al.10 によって検討されました。 Caputo 分数導関数による Brikman 型流体については、11 で研究されています。一般化された 2 級流体におけるパラメータの影響については、12 で説明されています。ストークス第一問題のマクスウェル非整数次導関数は、13 で研究されています。 Khan ら 14 は、磁気流体力学の正確な解を得るために、Oldroyd-B 流体を使用した一般化された修正ダルシーの法則を研究しました。 Khan ら 15 は、加速された流れにおける粘弾性非整数のバーガーズ流体モデルを研究しました。 Caputo Fabrizio の非整数導関数を使用して、第 2 グレードの熱伝達流体と振動垂直面を調べました 16。多孔質媒体に固定された伸縮性シート上の化学反応を伴う、3 級流体中での熱物質移動を調査しました。 Abbas ら 17 は、伸縮性シート上の Darcy-Forchheimer 関係式による 3 級流体の熱拡散を調査しました。ニュートン加熱と第 2 級流体を用いたカプト - ファブリツィオの対流に対するアタンガナ - バレヌ微分における熱伝達の解析は、18 で調査されています。最近、Caputo Fabrizio の非整数導関数を使用して、2 級流体の指数関数的加熱と磁気流体力学流量を調べました。 Saqib ら 20 は、Caputo-Fabrizio 導関数を使用して Jeffery 流体の流れを研究し、正確な解を得ました。 Raptis et al.21 は、伸縮性シートに対する熱放射の MHD の影響を調査しました。MHD に対する熱放射の影響は、22 で研究されています。この記事の目的は、Caputo-Fabrizio 分数微分法を使用した、磁気流体力学と熱放射に関する一般化された第 2 級非ニュートン流体の解析について議論することです。熱的側面では、指数関数的な加熱現象を採用します。

非圧縮性の非ニュートン 2 級流体を考えてみましょう。最初、時間 t = 0 では、温度 T∞ および速度はゼロです。 t = 0+ の時間開始として、流体速度は \(fH(t)e^{i\omega t}\) になり、ここで H(t) は単位ステップ関数であり、温度は \(T_{\infty } + T_{\omega } (1 - ae^{ - bt} )\)。これらすべての仮定によれば、温度と速度はどちらも空間変数 "y" と時間 "t" のみの関数です。ここで、通常のブシネスクの近似 16 により、非定常流れは次の一連の偏微分方程式によって支配されます。流体の流れの問題で使用される模式図は、図 1 のように幾何学的に表現されます。

問題の幾何学。

Rosseland の放射近似を使用するには 23、次のようになります。

テイラー級数を利用して高次の項を無視することにより、T4 を一次関数として表現します。

初期条件と境界条件:

無次元変数:

無次元方程式の後。 (1) ～ (5) を取得すると、

ここで、方程式でカプート – ファブリツィオ時間導関数を使用します。 (7) と (8) により、以下のシステムが得られます。

支配方程式の解を取得するには、ラプラス変換手法を使用します。運動量方程式はエネルギー方程式に依存するため、最初にエネルギー方程式の解を求めます。次に、式をラプラス変換します。 (12) 初期条件と境界条件を使用すると、式 (12) (9) と (10) より、次の方程式が得られます。

方程式を解く (15) 式 (15) を利用して (16) 与えられる変換された解

ここで、エネルギー方程式の正確な分析解を見つけるために、方程式の逆ラプラス変換を実行します。 (17) 付録 A1 と A2 を使用して、式 (17) に示される解を取得します。 (18)

速度方程式を見つけるには、方程式のラプラス変換を使用します。 (12) 初期境界条件付き式 (12) (9) および (10) に基づいて、変換された初期境界条件を備えた変換された方程式が式 (9) および (10) で与えられます。 (19) および (20):

方程式を解く (19) 式 (19) の助けを借りて (20) 式 (20) に示される変換結果が得られます。 (21)

どこ; \(a_{1} = \frac{M + \gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }},a_{2} = \frac{M\alpha \gamma }{{1 + \alpha_{ 2} \gamma }},a_{3} = \frac{\alpha \gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }},h_{1} = - \frac{Gr\xi }{{\ Pr \gamma + \Pr \gamma^{2} \alpha_{2} - M\xi - \gamma \xi }},\)

運動量方程式の正確な解析解を得るために、方程式の逆ラプラス変換を行います。 (21) 式 (21) で与えられる解が得られます。 (22) 付録 A1、A2、および A4 を使用して、

(i) 放射線の影響 \(N = 0\) がなく、プレートの指数関数的加熱を無視した場合。

式では、 (8) \(N = 0\) とすると、次のような形式で解が得られます。

ここで、 \(\varphi \left( {y, \, t, \, p_{r} \gamma , \, \alpha \gamma } \right) \) は付録 (A1) で定義されています。

この結果は、Shah と Khan によって達成された出版文献の結果と一致しています16。

また、式(1)の放射線の影響も無視しています。 (7) 以下のように速度方程式の解が得られます。

ここで \(a_{1} = \frac{\gamma }{{1 + \alpha_{2} \gamma }}, \, a_{2} = \, \alpha a_{1}\) および \(\varphi \left( {y, \tau ,a_{1} ,a_{2} } \right)\) は付録 (A1) で定義されています。

この結果は、Shah と Khan によって達成された出版文献の結果と一致しています16。

Mathcad ソフトウェアを使用して、さまざまな物理パラメータをスケッチし、流体の速度と温度の影響を分析します。図 2 のパラメータ α α、図 3 のプラントル数 Pr、図 4 の熱放射は温度場について描かれていますが、速度場については図 5 のα α、図 6 のプラントル数 Pr、磁気水力図7にダイナミックMHD、図8にグラスホフ数Grを示します。

さまざまなアルファ値の温度のグラフ。

プラントル数 Pr のさまざまな値に対する温度のグラフ。

さまざまな放射線 N の値に対する温度のグラフ。

コサイン振動とサイン振動の場合の、アルファ α のさまざまな値に対する速度のグラフ。

コサイン振動とサイン振動の場合のプラントル数 Pr のさまざまな値に対する速度のグラフ。

コサイン振動とサイン振動の場合の、M の異なる値に対する速度のグラフ。

コサイン振動とサイン振動の場合のグラスホフ数 Gr の異なる値に対する速度のグラフ。

図 2 は、温度とアルファ α の影響を確認するためのスケッチです。α の値を大きくすることで温度が上昇し、パラメータアルファ α と時間 t とともに境界層の熱厚さが増加することがわかります。図 3 は、温度とプラントル Pr の影響を確認するためのスケッチです。プラントル Pr の値が上昇すると温度が低下し、プラントル数 Pr と時間 t をパラメータとして温度境界層の厚さが減少し、温度の拡散率が変化することが観察されました。大きい。図4は温度と熱輻射Nの影響を調べたもので、熱輻射Nの値が小さいほど温度も上昇します。グラフは温度対 y をプロットしたものです。図 5 は、アルファ α の影響を確認するために描かれたもので、サイン振動とコサイン振動の両方のケースについて説明しており、アルファ α の値を増加させることによってこの流体速度が減少することを調べています。このグラフは、流体に対するコサイン振動とサイン振動の両方の影響を示しています。時間 t を長くすると、サイン発振の効果がコサイン発振よりも大きくなります。図 6 は、流体速度に対するプラントル Pr の効果を調べるために描かれています。サインおよびコサイン振動のケースを個別に検討しました。プラントル Pr 数の小さな値を大きくすることでこれを強調し、速度が減少します。図 7 は磁気流体力学 M の挙動を研究するために描かれており、正弦振動と余弦振動の両方のケースが考慮されていますが、MHD の値が小さいと速度が減少することに気づきました。時間 t を長くすると、サイン発振の効果がコサイン発振よりも大きくなります。図 8 はグラスホフ数の影響を観察するために描かれており、正弦振動と余弦振動の両方のケースが考慮されており、Gr の値が大きくなることで流体速度が増加することがわかります。時間 t を長くすると、サイン発振の効果がコサイン発振よりも大きくなります。図 9 では、限定的なケースとして得られた解を、Shah および khan16 によって得られた解と比較しました。

Shah & Khan が発行した文献との比較による速度と温度のプロファイル。

プレート \(\left( {y = 0} \right)\) における皮膚摩擦とヌッセルト数の数値結果を、\(\left( t \right)\) のさまざまな値について表 1 と 2 に示します。 \(\left( \alpha \right)\), \(\left( N \right)\), \(\left( M \right)\),\(\left( {\Pr } \right)\ ) と \(\left( {Gr} \right)\)。表 1 から、皮膚摩擦 \(\left( \tau \right)\) が \(\left( t \right)\)、\(\left( N \right)\) の増加とともに増加することが観察されます。 \(\left( {Gr} \right)\)、\(\left( \alpha \right)\)、\(\left( M \right)\)、\(\left が増加すると結果は逆転します( {\Pr } \right)\) 表 1. 板 \(\left( {y = 0} \right)\) におけるヌッセルト数 \(\left( {Nu} \right)\) の数値結果\(\left( t \right)\)、\(\left( \alpha \right)\)、\(\left( N \right)\)、および \(\left のさまざまな値について表 2 に示します。 ( {\Pr } \right)\)。表 2 は、プレートでの熱伝達率を決定するヌッセルト数 Nu が \(\left( \alpha \right)\) および \(\left( {\Pr } \right)\) が進行するにつれて増加することを示しています。 \(\left( t \right)\) と \(\left( N \right)\) が増加すると結果は逆転します。

無限垂直板上の一般化第二級流体の非定常自由対流を研究した。流れは、熱伝達とともに磁気流体力学と放射線の影響の下で解析されます。さらに、無限垂直プレートの熱的側面については、指数関数的な加熱現象を考慮しています。 Caputo-Fabrizio 導関数は、無次元支配方程式のセットに適用されています。問題の正確な解決策は、ラプラス変換手法によって得られます。プロファイル (温度と速度) は、プレートのサイン振動とコサイン振動の両方について、個別の物理パラメーターについてグラフで分析されます。

ということが観察されている。

分数パラメータ α と放射 N を増加させると、温度も増加します。

プラントル数が増加すると、温度を下げることができます。

α パラメータを増加すると速度が減少するため、α パラメータに対して速度と温度は逆の動作をします。

プラントル数の値が大きいほど、流体の速度は低下する傾向があります。

MHD の価値が高まるにつれて、流体の運動は減少しています。

Grの値が大きいほど速度が伸びます。

現在の研究中に分析されたデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

比熱

重力（加速度）

放射線のパラメータ

グラスホフ数

壁温度

粘度（動粘度）

流体密度

電気伝導性

流体温度

プラントル数

平均吸収係数

定数 (ステファン・ボルツマン)

グレードの第 2 パラメータ

均一な磁場

熱膨張体積係数

時間

ラプラス変換パラメータ

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セヘラセヘラ & アフシャンヌール

イスラミア大学ペシャワール数学学科、ペシャワール、25000、カイバル・パクトゥンクワ、パキスタン

サミ・ウル・ハク＆サイード・ウラ・ジャン

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イリヤス・カーン

エジプト未来大学研究センター、ニューカイロ、11835、エジプト

アブドラ・モハメッド

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SS が研究を設計しました。 AN は SH の技術支援を受けて実験を実施し、SUJ と IK がデータを分析して論文を執筆しました。 AM は、議論と改訂原稿をもとに特別なケースの結果を計算しました。

イリヤス・カーンへの通信。

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Sehra、S.、Noor、A.、Haq、SU 他。 Caputo-Fabrizio 分数微分法を使用した MHD、放射、および指数加熱による一般化 2 級流体の熱伝達。 Sci Rep 13、5220 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-022-22665-4

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受信日: 2022 年 5 月 15 日

受理日: 2022 年 10 月 18 日

発行日: 2023 年 3 月 30 日

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